1.7 微分

変数 $x$ の関数 $y = f(x )$ とするとき、点 $(a,f(a))$ での接線の傾きを $′ f(a)$ と書き、 $x$ の関数とみた $′ f(x)$ を $f(x)$ の導関数という。導関数 $f′(x)$ を求めることを、 $f(x)$ を $x$ で微分するという。極限値

f′(a) = lim f(a-+Δx-)--f(a) Δx→0 Δx

が存在するとき、これを $a$ における $f(a)$ の微分係数という。幾何学的には、 $y = f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線の傾きを表す。 $x = a$ で $′ f (a)$ が存在するとき、関数 $f(x)$ は $x = a$ で微分可能という。

自動車で旅行するとき、出発してからの時間を $t$ として、その間の移動距離を $x$ とすると、 $x$ と $t$ との間には、 $x = f (t)$ という関係がある。自動車の平均の速さは（移動距離) /（移動時間）である。例えば、那覇と名護の間の距離が約70Kmであり、那覇から出発して名護に車で1時間で到達した。このときの車の平均の速さ $- v$ は

- Δx 70 (km) v = Δt-= -1 (h)-= 70 (km ∕h)

と表される。下図のように、時刻 $t = a$ と $t = a+ Δt$ の間の微少時間 $Δt$ （短い時間間隔）での平均の速さ $- v$ は

- Δx- f(a-+-Δt)--f(a) v = Δt = Δt

と表され、微分の式と同じであることが分かる。

ここで、時刻の間隔 $Δt$ を短く（ $Δt → 0$ の極限値を計算）すれば、平均の速さは時刻 $t = a$ での瞬間の速さ $v(a)$ は

Δx- f(a+-Δt-)--f(a)- v(a) = Δltim→0 Δt = Δltim→0 Δt

となる。よって、下記のように速さ $v$ は

dx v = dt-

移動距離 $x$ を時間 $t$ で微分することによって求められる。なお、一次の導関数（微分）は

′ ′ dx d df f (t) x dt- dx∕dt dtf (t) dt df∕dt

の表し方がある。

＜例題＞ $y = √x-$ を微分せよ。

√------- √-- √ ------- √ --√ ------- √ -- Δy- -x-+-Δx----x- (--x+-Δx-----x)(-x+-Δx-+---x) Δx = Δx = Δx (√x-+-Δx-+ √x)

x + Δx - x 1 = ---√---------√---= √---------√--- Δx( x+ Δx + x) x +Δx + x

y′ = lim Δy-= lim √-----1---√---= √--1-√---= -1√-- Δx→0 Δx Δx →0 x +Δx + x x+ x 2 x

1.8 二次の導関数

関数 x = f(t) の導関数 x′ = f′(t) をさらに微分して得られる導関数を 2 次導関数といい、記号で

2 2 x ′′ f′′(t) d-x d2x∕dt2 d-f(t) d2f∕dt2 dt2 dt2

の表し方がある。

1.8.1 関数の和・差・積・商の導関数

y = cu ならば、y′ = cu′ （cは定数）
y = u v ならば、y′ = u′v′ (複合同順)
y = uv ならば、 y′ = u′v + uv′
$u y = v$ ならば、 $′ (u′v-uv′) y = v2$ であり、特に、 $1 y = v$ ならば $′ v′ y = - v2$

＜(4)の証明＞

$u = f(x)$ 、 $v = g(x)$ とおけば

Δy = f(x+-Δx-)- f-(x) = f(x+-Δx-)g(x)--f(x)g(x-+-Δx) g(x+ Δx ) g(x) g(x + Δx)g(x)

= (f(x+-Δx-)--f(x))g(x)--f(x)(g(x-+-Δx)-- g(x)) g(x+ Δx )g(x)

f(x+Δx)-f(x) g(x+Δx)-g(x)- -Δy = -----Δx----g(x)--f(x)----Δx----- Δx g(x + Δx)g(x)

$Δx → 0$ のとき、 $g(x + Δx) → g(x)$ であるから

f(x+Δx)-f(x) g(x+Δx)-g(x) y′ = lim Δy- = lim-Δx→0-----Δx----g(x)--f(x)lim-Δx→0-----Δx----- Δx→0 Δx lim Δx→0 g(x + Δx )g(x)

f′(x)g(x)--f(x)g′(x) u′v-- uv-′ = (g(x))2 = v2

＜(3)の証明＞

(4)と同様に、 $u = f(x)$ 、 $v = g(x)$ とおけば

Δy f (x + Δx)g(x+ Δx )- f(x)g(x )+ f(x + Δx )g(x)- f(x +Δx )g(x) y′ = Δlxim→0 Δx-= Δlxim→0--------------------------Δx----------------------------

(f (x + Δx)- f (x))g(x)+ f(x+ Δx )(g(x+ Δx )- g(x)) = Δlixm→0 -----------------------------------------------= f′(x)g(x)+ f(x)g′(x) Δx

1.8.2 合成関数の導関数

$y = f(u)$ および $u = g(x)$ が微分可能なとき、合成関数 $y = f(g(x))$ の導関数は

dy-= dy-⋅ du dx du dx

で表される。

＜証明＞

xの増分Δxに対するu及びyの増分はそれぞれ

Δu = g(x + Δx) - g(x) Δy = f(g(x + Δx))- f(g(x))

と表される。Δu式の右辺を左辺へ移行すると

g(x + Δx ) = g(x)+ Δu = u+ Δu

となり、この式をΔy式へ代入すると

Δy = f(u + Δu)- f (u)

となる。この式の両辺をΔxで割り、次にfをΔuで割って、更にΔu掛けると下記の式

Δy f(u +Δu )- f(u) f(u+ Δu )- f(u) Δu Δx-= ------Δx------- = ------Δu-------⋅ Δx-

のように変形される。 u は xの連続関数であるから、 $Δx → 0$ のとき $Δu → 0(Δu = g(x+ Δx )- g(x))$ である。従って

dy Δy f(u + Δu)- f(u) Δu dx-= Δlixm→0 Δx-= Δlxim→0 ------Δu------- ⋅Δx-

f(u+-Δu-)--f(u) Δu- dy- du- = Δlium→0 Δu ⋅Δlxim→0 Δx = du ⋅ dx

となる。右辺を約分するとduが消去されるので、両辺が等価であることが分かる。

＜例題＞ (1) y = 2(3x - 1)³ と (2) $√ ------ y = x2 - 1$ を微分せよ。

(1) 3x - 1 = uとおけば、y = 2u³であるので

dy- dy-du- 2 2 dx = du dx = 6u ⋅3 = 18(3x- 1)

(2) x² - 1 = uとおけば、 $y = √u-= u1∕2$ であるので

dy-= dy-du-= -1√--⋅2x = √--x--- dx du dx 2 u x2 - 1

1.8.3 xのn乗の微分

(xⁿ)′ = nx^n-1になることを示せ。

＜証明＞

y = xに対し、

′ (x+-Δx-)--x y = Δlixm→0 Δx = 1

となり、n = 1のとき成り立つ。n = k、つまりy = x^kのとき、

y′ = kxk- 1

が成り立つと仮定する。y = x^k+1 = x^kxであるので、

′ k′ k ′ k-1 k k y = (x )x+ x (x) = kx x +x = (k+ 1)x

となる。故に、n = k + 1のときにも成り立つ。従って、すべての自然数nについて成り立つ。

＜例題＞ x² + y² = 1のとき、dy∕dxを求めよ。

下記のように、両辺をxについて微分して、dy∕dx =のように変形を行う。

dy dy x 2x + 2y---= 0 ---= - -- dx dx y

＜例題＞ x = 2t - 3、y = 5 - 3t²の関係が成り立つとき、dy∕dxを求めよ。

2 ′ dy-= dy∕dt= (5-- 3t-)′ = --6t= - 3t dx dx∕dt (2t- 3) 2

1.8.4 三角関数の導関数

y = sinx のとき、y′ = cosx
y = cosx のとき、y′ = -sinx
y = tanx のとき、 $y′ = 1∕ cos2x = sec2 x$

その他、この頃は見かけなくなったが、cosec θ （csc θ）（コセカント）、sec θ （セカント）、cot θ （コタンジェント）などの三角関数もある。

--1- --1- --1-- cosec θ (cscθ) = sinθ secθ = cosθ cotθ = tanθ

＜(1)の証明＞

Δy = sin(x + Δx )- sinx = 2cos x-+-Δx-+-xsin x-+-Δx---x= 2 cos(x + Δx-)sin Δx 2 2 2 2

Δy 2cos(x + Δx)sin Δx sinΔx ∕2 Δx y′ = lim --- = lim ---------2-----2-= lim -------- lim cos(x + ---) Δx →0Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx∕2 Δx→0 2

lim sinΔx-∕2-= 1 lim cos(x + Δx-) = cosx Δx→0 Δx ∕2 Δx→0 2

sin(α + β)- sin(α - β) = 2 cos αsin β lim sinΔx-= 1 Δx→0 Δx

＜証明＞

0 < θ < π∕2として、半径1の円周上の２点A（x軸との交点）、Pをとり、中心角AOPの大きさがθであるようにする。O点は円の中心点である。 A点における接線（y軸と平行）とOPの延長との交点をT点とすれば、面積の大きさは三角形 △OAP < 扇形 OAP < 三角形 △OAT、 △OAP $= 1 sinθ 2$ となる。また、扇形 OAP $1 = 2θ$ 、 △OAT $1 = 2 tanθ$ から

1 1 1 2 sinθ < 2θ < 2 tanθ

となり、sinθ で割って逆数をとると

sinθ 1 > -θ--> cosθ

となる。θ → 0 のとき cosθ → 1 であるので

lim sin-θ= 1 θ→0 θ

となり、1になることが証明された。

＜(2)の証明＞

π π dy dy dt y = cosx = sin(2-+ x) -2 + x = t dx-= dt ⋅dx-= cost⋅1 = cost

π- ′ = cos(2 +x ) = - sinx y = - sinx

＜(3)の証明＞

y = tanx = sin-x y′ = (sinx-)′cosx--sinx(cosx)′= cos2x+-sin2x cosx cos2x cos2x

= --1--= sec2x cos2 x

＜例題＞ x、yの関数がθを媒介として

x = a(θ - sinθ) y = a(1- cosθ) (a ⁄= 0)

で与えられているとき、dy∕dx をθの式で表せ。aは定数である。

dx- 2 θ dy θ θ dθ = a(1- cosθ) = 2asin 2 dθ = asin θ = 2asin2 cos 2

dy dy∕dθ 2asin θ2 cos θ2 1 θ dx-= dx∕dθ = --2asin2-θ--= tan-θ-= cot 2 2 2

1.8.5 対数関数・指数関数の微分

対数関数 log _ax の導関数を求める。まず、x = 1 における微分係数を求めるには

loga(1-+h-)--loga1- 1- 1∕h hli→m0 h = lhim→0 h loga(1 + h) = lhim→0 loga(1+ h)

であるから、h → 0 のときの (1 + h)^1∕h の極限値が分かればよい。いま、この極限値がどうなるかを調べるために、hに順次に

.1 0.01 .001 0.0001 0.00001........

を代入して (1 + h)^1∕h の値を計算すると、以下のようになる。


h	(1 + h)^1∕h	h	(1 + h)^1∕h

0.1	2.59374	-0.1	2.86797
0.01	2.70481	-0.01	2.73199
0.001	2.71692	-0.001	2.71964
0.0001	2.71814	-0.0001	2.71841
0.00001	2.71827	-0.00001	2.71829
.....	.....	.....	.....

この値は一定値に近づき、この極限値を e と書く。e は無理数であり、

e = 2.7182818......

であることが知られている。従って、

1∕h 1∕h lhim→0(1+ h) = e lih→m0 loga(1 +h ) = logae

となる。この結果を用いて、y = log _ax(x > 0) の導関数を求めると

y′ = lim loga(x-+-h)--logax = lim 1-loga x+-h-= 1-lim xloga(1+ h) h→0 h h→0h x x h→0 h x

= 1-lim log (1 + h)x∕h x h→0 a x

ここで、h → 0のときh∕x → 0であるから

1- h-x∕h 1- ′ 1- --1---- xhli→m0 loga(1+ x) = x logae y = x logae = xlogea

特に、e を対数の底として対数関数 y = log _ex を考えると

1 y′ =-- x

e を底とする対数を自然対数という。y = log _ax ならば

y = loga x = logex y′ =---1--- logea x logea

となる。

＜例題＞ (1) y = log |x|と (2)y = log |sinx|を微分せよ。

x > 0 のとき y = log x、よって $y′ = 1x$ となる。また、x < 0 のとき y = log(-x)であるので y = log z （z = -x）とおくと、zの正負に関係ないことが分かる。 $dy- dy dz- 1 1 1- dx = dz ⋅ dx = z ⋅(- 1) = -z = x$
$dy dy dz 1 cosx y = log|z| z = sinx ---= -- ⋅---= - ⋅cos x =---- = cotx dx dz dx z sinx$

＜例題＞ y = x^x を微分せよ。
y = x^x の両辺の対数をとると log y = xlog x となり、この式の両辺をxで微分すると

y′ 1 y-= log x+ xx-= logx +1

′ x y = y(logx+ 1) = x (logx + 1)

1.8.6 指数関数の導関数

y = a^x ならば、y′ = a^x log a、特に、y = e^xならば、y′ = e^xであることを確認する。
いま、y = a^x(a > 0) の両辺の対数をとれば

logey = x logea

両辺をxで微分すると

′ y-= logea y′ = ylogea = ax logea y

特に、a = e ならば

y′ = ex logee = ex

となる。

第 1 章運動

1.1 速度と加速度

平均の速さ $v$ は下記のように移動距離（ $S - S 2 1$ ）をその距離を移動するにかかった時間（ $t - t 2 1$ ）で割って（「距離 / 時間」）

S2---S1 v = t2 - t1

で求められる。したがって、「移動距離」は「速さ」×「時間」で求まることになる。

ただし、速さには2種類あり、そのうちの1つが平均の速さ（上式）で、もう一つが時間を十分小さくとった瞬間の速さ

v = dS- (v = lim ΔS-= dS) dt Δt→0 Δt dt

である。また、速度 $v$ は「瞬間の速さ」と「向き」を指定したものであり、数値で表す場合は+10[m/s]、-20[m/s]と表す。ただし、+は省略されることが多い。数学的には「速さ $v$ 」はスカラー量（ベクトルの大きさ）であり、「速度 $v$ 」はベクトル量ということになる。したがって、速度の大きさは速さである。同様に、任意の位置ベクトル $r$ が $Δr$ だけ変化したときの速度ベクトル $v$ は $Δr v = -Δt$ で定義される。図は $t = t1$ のとき $r$ の点にあったものが $t = t2$ になると $r + Δr$ の位置に移動したことを示す。

1.2 簡単な加速度運動

平均の加速度 $a$ は下記の式のように

v - v a = -2---1- t2 - t1

表され、速度 $v$ の時間変化（減速を含める）の割合と定義する。ただし、これは平均の加速度であり、時間を十分小さくとった瞬時の加速度 $a$ は

dv Δv dv a =--- (a = lΔimt→0--- = --) dt Δt dt

で定義される。また、加速度 $a$ も速度 $v$ と同様に大きさと向きを持つベクトル量である。任意の位置ベクトル $r$ を使って加速度 $a$ [m/s²]と速度 $v$ [m/s]を表すと

2 a = dv= d-v = d(dr-) = d-r v = dr- dt dt dt dt dt2 dt

となる。

1.3 等加速度直線運動

等加速度直線運動は物体の速度の方向や向きが変化せず、加速度の大きさが一定である運動であり、運動の様子を

v = v0 + at

S = v0t+ 1 at2 2

v2 - v20 = 2aS

で表すことができる。この第1式と第2式との関係は微分と積分の関係になっている。 $v = dS dt$ であるので、 $S$ の微分から $v$ が求まり、逆に、 $v$ の積分で $S$ が求まる。（例題8参照）今、 $s$ 軸上を移動している物体の速度の大きさが $Δt$ の間に $v0$ （初速度）から $v$ （ $Δt$ 秒後の速度）になったとする。

このときの加速度 $a$ の大きさは

a = v--v0- Δt

と表される。この間の速度の平均の大きさは $- v = (v0 + v)∕2$ （最初と最後の速度の平均）となる。次に、 $Δt$ の間に走った距離 $S$ （「移動距離」=「速さ」×「時間」）は

S = v× Δt = v0 +-v-× Δt 2

となる。ここで、 $a$ の式を変形した $v = v0 +aΔt$ を $S$ の式へ代入すると、

v0 + (v0 + aΔt) 1 2 S = ------2------ × Δt = v0Δt + 2a(Δt)

となる。任意の時間 $t$ についても「 $v = v + at 0$ 」「 $S = vt+ (1∕2)at2 0$ 」は成り立つ。これに再度、 $a$ の式（ $v$ を $v 1$ と記す）を変形して $Δt = (v1 - v0)∕a$ を $S$ の式へ代入して、 $Δt$ を消去すると

v - v 1 v - v S = v0(-1---0) + -a(-1---0)2 2aS = v21 - v20 a 2 a

となり $a$ 、 $S$ 、 $v1$ 、 $v0$ との間の関係を与える。

重力加速度 : 物体が地表に落下するときの、物体に働く加速度を重力加速度という。物体の大きさ、種類によらず一定（ $g = 9.8$ [m/s²]、読み方：9.8 [メートル毎秒毎秒]、[メートル・パー・セコンド二乗]）である。

まとめ(物体が等加速度直線運動を行う場合)

v = v0 + at S = v0t+ 1at2 v2 - v20 = 2aS 2

＜例題1＞運動の記述 — 速さと速度
自動車が一直線上を、時刻 $t = 0$ (s) のときを出発点として、 $t = 4.0$ (s) のとき距離 $d = 80$ (m) 進んだ。この間の速さを求めよ。

v = d= 80(m-)= 20(m∕s) t 4.0(s)

速さも向きも一定なので、自動車の速度は一定である。（速度：ベクトル量）

＜例題2＞加速度の計算
自動車の加速度だけを競うドラッグレースで、停止状態からスタートして一直線上を走り、 $t = 4.0$ (s) 後に $vf = 30$ (m/s) の速さに達した。このときの平均の加速度の大きさ $a-$ はどれだけか。

停止状態からスタートするので、初めの速度は $v0 = 0$ である。加速度は速度の変化量であるので

-- vf --v0 30-- 0 2 a = Δt = 4.0 - 0 = 7.5(m∕s )

となる。ここで加速度を正の向きにとったので、加速度（ベクトル量）も正の向きである。

＜例題3＞物体の運動
高さ $h$ の場所から初速度 $v0 = 0$ で物体をおとす場合、何秒後に床に達するか。また、床から上方へ初速度 $v0$ で投げ上げた場合、最高の高さを求めよ。

物体は一定の重力加速度 $g = 9.8$ (m/s²) で落下する。 $S$ の式を使い、条件 $v0 = 0$ 、距離 $S$ は $h$ となり、落下する方向と $g$ の向きは同じであるので $a = g$ となる。よって、

∘ --- h = 1gt2 t = 2h- (S = v0t+ 1 at2) 2 g 2

と表される。上方に投げ上げた場合は、物体の運動方向と $g$ の向きが逆向きであるので $a = - 9.8$ (m/s²) の加速度をもつ。 $t$ 秒後の速さは

v = v0 - gt (v = v0 + at)

となる。ここで、物体が上昇しきって、一瞬静止するときには $v = 0$ となるから

v0 - gt = 0 t = v0 g

と得られる。この時間が最高の高さに上がるまでの時間であるので、その高さは

v 1 v v2 Smax = v0(-0)-- g(-0)2 = -0 g 2 g 2g

となる。

＜例題4＞最大到達距離
ボールを仰角 $θ$ で投げたとき、到達距離が最大になるときの条件を求めよ。

ボールは左右対称の放物線の経路を描く。この曲線経路は、鉛直方向と水平方向の運動を組み合わせた結果生じる。従って、物体は鉛直方向に上昇して下降する時間だけ、水平方向に距離 $x$ 進むことができる。鉛直方向に上昇して下降する時間は＜例題3＞と同様に考えることができる。

ただし、鉛直方向の速度成分は $v0sin θ$ であり、最高の高さになる時間は例題3の $t = v0∕g$ から、 $t = v0sinθ∕g$ となる。係数の2は上昇時間と下降時間のために付いている。下降する時間は、例題3から最高の高さ $2 Smax = (v0 sinθ) ∕(2g)$ が得られ、例題3の下降する時間 $∘ ---- t = 2h∕g$ 中の $h$ にその $Smax$ を代入することによって、 $Smax$ から下降する時間 $t = v0sin θ∕g$ が求まる。よって、上昇する時間と下降する時間が同じであることが分かり、上昇して下降する時間 $t$ は

t = 2v0sin-θ g

と求まる。また、水平方向の距離 $x$ は水平方向の速度成分 $v0cosθ$ と時間 $t$ から

2 x = (v0cosθ)× t = (v0cos θ)× 2v0sin-θ= v0-sin2θ g g

と計算される。三角関数の変形は2倍角の公式sin2θ = 2sinθ cosθ（9ページの加法定理から算出可能）を使用した。得られたSの式から、 $θ = 45∘$ のとき、到達距離が最大となることが分かる。ただし、これは空気抵抗がない場合であり、空気抵抗がある場合は軌跡は左右対称でなく、仰角が $45∘$ より小さい角度で到達距離が最大となる。